【通信技術(shù)基礎(chǔ)第11講】

卷積是一種運(yùn)算寫(xiě)出卷積的運(yùn)算步驟，就像加法和乘法一樣。 它有什么特別之處？

圖 1：卷壽司，就像一個(gè)卷積

系統(tǒng)中的卷積

對(duì)于離散系統(tǒng)T，輸入信號(hào)為δ(n)，輸出信號(hào)為h(n)，h(n)稱(chēng)為脈沖響??應(yīng)； 輸入信號(hào)是 x(n) ，輸出信號(hào)是 y(n) 。

圖 2：線性時(shí)不變系統(tǒng)

通過(guò)對(duì)單位脈沖序列進(jìn)行平移和幅度加權(quán)，可以得到任意序列x(n)。根據(jù)這種方法，可以得到圖3中序列的表達(dá)式

圖 3：離散時(shí)間序列

使用脈沖序列 δ(n) 表示 p(n)

公式1

根據(jù)x(n)的脈沖序列表達(dá)式，可以推導(dǎo)出y(n)。 由于我們通常研究的是線性時(shí)不變系統(tǒng)，所謂時(shí)不變是指當(dāng)系統(tǒng)輸入δ(n)時(shí)，輸出為h(n)； 當(dāng)系統(tǒng)輸入δ(nk)時(shí)，系統(tǒng)輸出h(nk)。 所以：

二級(jí)方程式

OK，為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)輸出表達(dá)式，我們將這個(gè)運(yùn)算定義為卷積，即系統(tǒng)輸出響應(yīng)y(n)是輸入x(n)與脈沖響應(yīng)h(n)的卷積，*為卷積運(yùn)算符號(hào)。

卷積的定義

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)x(t)和h(t)，離散時(shí)間序列x(n)和h(n)，卷積的定義：

公式3 卷積定義

存在一個(gè)特性：τ+(n-τ)=n。 如果x=τ，y=n-τ寫(xiě)出卷積的運(yùn)算步驟，x+y=n，在坐標(biāo)軸上畫(huà)出來(lái)就是這樣：

圖4：連續(xù)圖像。由馬志虎繪制

如果你穿過(guò)這些直線，就像沿著拐角滾動(dòng)毛巾一樣。 感謝馬知乎給出了這么直觀的理解卷積的方法。 沒(méi)錯(cuò)，卷積就像卷起毛巾，移動(dòng)一步，翻轉(zhuǎn)一步，乘法加法一步！

圖5：卷毛巾。馬志虎圖

卷積計(jì)算

顧名思義，卷積就是通過(guò)卷起來(lái)、折疊來(lái)求積。 所以卷積也稱(chēng)為卷積。 具體步驟如下圖所示。 這也是最經(jīng)典的卷積方法和繪圖方法，更容易直觀理解。

圖6：卷積的計(jì)算步驟

現(xiàn)在我們可以使用卷積函數(shù)cov來(lái)幫助我們快速得到卷積結(jié)果。 但我還是鼓勵(lì)大家嘗試一下經(jīng)典的畫(huà)法。 在繪畫(huà)的過(guò)程中，你可以體會(huì)到“體積”的意義！

圖7：離散卷積的計(jì)算過(guò)程

它在時(shí)間軸上水平移動(dòng)，然后垂直翻轉(zhuǎn)，所以我稱(chēng)之為“三維”操作。

在圖像處理中，二維卷積使用的比較頻繁，這里不再詳細(xì)介紹。

圖8：二維卷積

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